Question

【題目】已知圓： 和拋物線： ， 為坐標(biāo)原點．

（1）已知直線和圓相切，與拋物線交于兩點，且滿足，求直線的方程；

（2）過拋物線上一點作兩直線和圓相切，且分別交拋物線于兩點，若直線的斜率為，求點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）;（2）或．

【解析】試題分析: 直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于兩點，且滿足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點的坐標(biāo).

試題解析：（1）解：設(shè)， ， ，由和圓相切，得．

∴．

由消去，并整理得，

∴， ．

由，得，即．

∴．

∴，

∴，

∴．

∴．

∴或（舍）．

當(dāng)時， ，故直線的方程為．

（2）設(shè)， ， ，則．

∴．

設(shè)，由直線和圓相切，得，

即．

設(shè)，同理可得： ．

故是方程的兩根，故．

由得，故．

同理，則，即．

∴，解或．

當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．

故或．