Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB= ，EF=1，BC= ，且M是BD的中點．．
（1）求證：EM∥平面ADF；
（2）求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D﹣AF﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AD的中點N，連接MN，NF．

在△DAB中，M是BD的中點，N是AD的中點，

∴MN∥AB，MN= AB．

又∵EF∥AB，EF= AB，∴MN∥EF且MN=EF，

∴四邊形MNFE為平行四邊形，可得EM∥FN．

又∵FN平面ADF，EM平面ADF，

∴EM∥平面ADF；

（2）解：取AB中點G，連接FG，DG，則FG∥EB，FG=

∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，

∴∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角

∵BC= ，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3

∵BG=1，∴DG=

∴tan∠FDG= = =

（3）解：因為EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B為原點，建立空間直角坐標系B﹣xyz．

由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），F（0，1， ）

∴ =（3，﹣2，0）， =（0，﹣1， ）．

設平面ADF的一個法向量是 =（x，y，z）．

由 ，得 ，令y=3，則 =（2，3， ）

因為EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．

又因為AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．

∴ =（3，0，0）是平面EBAF的一個法向量．

∴cos＜ ＞= =

∵二面角D﹣AF﹣B為銳角，

∴二面角D﹣AF﹣B的大小為60°

【解析】（1）取AD的中點N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；（2）取AB中點G，連接FG，DG，可得∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角，從而可求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；（3）求出平面ADF、平面EBAF的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D﹣AF﹣B的大小．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．