Question

【題目】若區間[x1 ， x2]的 長 度 定 義 為|x2﹣x1|，函數f（x）= （m∈R，m≠0）的定義域和值域都是[a，b]，則區間[a，b]的最大長度為（ ）
A.
B.
C.
D.3

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函數f（x）= （m∈R，m≠0）的定義域是{x|x≠0}，則[m，n]是其定義域的子集，

∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．

f（x）= = ﹣ 在區間[a，b]上時增函數，

則有： ，

故a，b是方程f（x）= ﹣ =x的同號相異的實數根，

即a，b是方程（mx）2﹣（m2+m）x+1=0同號相異的實數根．

那么ab= ，a+b= ，只需要△＞0，

即（m2+m）2﹣4m2＞0，解得：m＞1或m＜﹣3．

那么：n﹣m= = ，

故b﹣a的最大值為 ，

故選：A．

【考點精析】本題主要考查了函數的定義域及其求法和函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．