Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為，，離心率，短軸長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過的直線與橢圓交于不同的兩點，，則的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由離心率，短軸為2a，可求得a,b,c.(2) 設直線的方程為,與橢圓方程組方程組，由韋達定理與三角形面積公式，轉化為關于t的函數，利用函數出求得最大值。

試題解析;（1）根據題意，得解得，，，

∴橢圓的標準方程為．

（2）設，，不妨設，，

由題知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

則，，

∴，

令，可知，則，

∴，

令，則，

當時，，即在區間上單調遞增，

∴，∴，

即當，時，的面積取得最大值3，

此時直線的方程為．