Question

【題目】為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ，σ2)．

(1)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；

(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

①試說明上述監控生產過程方法的合理性；

②下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

經計算得==9.97，s==≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.

用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除（﹣3+3）之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ(精確到0.01)．

附：若隨機變量Z服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，≈0.09.

Answer 1

【答案】(1) P（X≥1）=0.0408， E（X）=0.0416 (2) （ⅰ）監控生產過程的方法是合理的，（ⅱ）μ的估計值為10.02，σ的估計值為0.09

【解析】試題分析：（1）通過P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二項分布的期望公式計算可得結論；

（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監控生產過程方法合理；

（ⅱ）通過樣本平均數、樣本標準差s估計、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），進而需剔除（﹣3+3）之外的數據9.22，利用公式計算即得結論．

試題解析：

（1）由題可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之內的概率為0.9974，

則落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率為1﹣0.9974=0.0026，

因為P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，

所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，

又因為X～B（16，0.0026），

所以E（X）=16×0.0026=0.0416；

（2）（ⅰ）如果生產狀態正常，一個零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，發生的概率很小．因此一旦發生這種狀況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的．

（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估計值為=9.97，σ的估計值為=0.212，由樣本數據可以看出一個

零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需對當天的生產過程進行檢查．

剔除（﹣3+3）之外的數據9.22，剩下的數據的平均數為

（16×9.97﹣9.22）=10.02，

因此μ的估計值為10.02．

2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，

剔除（﹣3+3）之外的數據9.22，剩下的數據的樣本方差為

（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，

因此σ的估計值為≈0.09．