Question

如圖，鋼板材料ABCD的上沿為圓弧AD，其所在圓的圓心為BC的中點O，AB、CD都垂直于BC，且AB=CD=a，BC=b，現(xiàn)如何用這塊鋼板材料截一塊矩形板（其中兩個頂點在上，另兩個頂點在BC上），使矩形的面積最大？請你設(shè)計截取方案，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：作出如圖的輔助線，設(shè)∠AOB=θ，∠NOB=α，化簡矩形EFMN的面積得S=R²sin 2α，由于2θ≤2α＜π，所以分θ≤與θ＞兩種情況討論，分別根據(jù)sin2α的最大值得到矩形面積S的最大值，由此即可得到相應(yīng)的設(shè)計方案．
解答：解：如圖，設(shè)∠AOB=θ，∠NOB=α（），
其中半徑AO=R=，且sin θ=，cos θ=．
矩形EFMN的面積是
S=Rsinα（2Rcosα）=R²sin2α（2θ≤2α＜π），
①當(dāng)θ≤，即2θ≤時，此時2a≤b，S_max=R²=a²+b²，這時α=．
②當(dāng)θ＞，即2θ＞時，此時2a＞b，S_max=R²sin 2θ=2R²sin θcos θ=2R²••=ab．
因此，設(shè)計方案如下：
當(dāng)2a≤b時，取點N使∠NOB=，再確定點M、E、F，這樣矩形EFMN的最大面積為a²+b²；
當(dāng)2a＞b時，這時矩形ABCD就是所求的面積最大的矩形，最大面積為ab．
點評：本題在圓當(dāng)中求截取矩形的面積最大值，著重考查了解三角形、三角函數(shù)的值域與最值和三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．