Question

如圖，鋼板材料ABCD的上沿為圓弧AD，其所在圓的圓心為BC的中點O，AB、CD都垂直于BC，且AB=CD=a，BC=b，現如何用這塊鋼板材料截一塊矩形板（其中兩個頂點在

AD

上，另兩個頂點在BC上），使矩形的面積最大？請你設計截取方案，并說明理由．

Answer 1

分析：作出如圖的輔助線，設∠AOB=θ，∠NOB=α，化簡矩形EFMN的面積得S=R²sin 2α，由于2θ≤2α＜π，所以分θ≤

π

4

與θ＞

π

4

兩種情況討論，分別根據sin2α的最大值得到矩形面積S的最大值，由此即可得到相應的設計方案．

解答：解：如圖，設∠AOB=θ，∠NOB=α（θ≤α≤

π

2

），
其中半徑AO=R=

a2+ 1 4 b2

，且sin θ=

a

R

，cos θ=

b

2R

．
矩形EFMN的面積是
S=Rsinα（2Rcosα）=R²sin2α（2θ≤2α＜π），
①當θ≤

π

4

，即2θ≤

π

2

時，此時2a≤b，S_max=R²=a²+

1

4

b²，這時α=

π

4

．
②當θ＞

π

4

，即2θ＞

π

2

時，此時2a＞b，S_max=R²sin 2θ=2R²sin θcos θ=2R²•

a

R

•

b

2R

=ab．
因此，設計方案如下：
當2a≤b時，取點N使∠NOB=

π

4

，再確定點M、E、F，這樣矩形EFMN的最大面積為a²+

1

4

b²；
當2a＞b時，這時矩形ABCD就是所求的面積最大的矩形，最大面積為ab．

點評：本題在圓當中求截取矩形的面積最大值，著重考查了解三角形、三角函數的值域與最值和三角函數的應用等知識，屬于中檔題．