Question

（2009•成都模擬）已知橢圓的兩個焦點F₁（0，1）、F₂（0，1）、直線y=4是它的一條準線，A₁、A₂分別是橢圓的上、下兩個頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)以原點為頂點，A₁點的拋物線為C，若過點F1的直線l與C交于不同的兩點M、N，求線段MN的中點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，由題意，得c=1，

a2

c

=4，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)拋物線C的方程為x²=2py，p＞0．由

p

2

=2，得p=4．故拋物線C的方程為x²=8y，設(shè)線段MN的中點Q（x，y），直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 x2=8y

，得x²-8kx-8=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．故x=

x1+x2

2

=

8k

2

=4k，代入直線l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，由此能求出點Q的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，
由題意，得c=1，

a2

c

=4，
∴a²=4，b²=4-1=3，
∴所求橢圓方程

x2

4

+

x2

3

=1；　　…（5分）
（Ⅱ）設(shè)拋物線C的方程為x²=2py，p＞0．
由

p

2

=2，得p=4．
∴拋物線C的方程為x²=8y，
設(shè)線段MN的中點Q（x，y），直線l的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2=8y

，得x²=8kx+8，
即x²-8kx-8=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．
∴x=

x1+x2

2

=

8k

2

=4k，
代入直線l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，
由

x=4k y=4k2+1

，消去k，得y=

x2

4

+1，
即x²=4（y-1），
∴點Q的軌跡方程是x²=4（y-1）．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．