Question

（2009•成都模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=

x2+bx+c 2

其中b＞0，c∈R．當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有兩個不相同的實數(shù)根，求a取值的集合．

Answer 1

分析：（1）注意關(guān)鍵字：當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2，說明表達式中的二次函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-2對稱，并且f（-2）=-2，由此可得出b、c的值，從而得到函數(shù)f（x）的表達式；
（2）作出函數(shù)y=f（x）的圖象，再作出直線l：y=x+a，通過先求出兩圖象恰有兩個不同公共點的臨界位置，再平移直線，根據(jù)直線在y軸上截距的取值范圍，最后求得a取值的集合．

解答：解：（1）∵當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2
∴二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象關(guān)于直線x=-2對稱且f（-2）=-2
可得

- b 2 =-2 (-2) 2+b(-2)+c=-2

⇒

b=4 c=-2

∴函數(shù)f（x）的表達式為f(x)=

x2+4x+2，x≤0 2，x＞0

（2）同一坐標(biāo)系里，作出函數(shù)y=f（x）的圖象和直線l：y=x+a，可得：
①當(dāng)a=2時，直線l與y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，
②將直線向下平移至兩圖象相切，此時由x²+4x+2=x+a得
x²+3x+2-a=0，根的判別式△=9-4（2-a）=0，⇒a=-

1

4

綜合①②這兩種特殊位置，可得當(dāng)-

1

4

≤a≤2時，直線l在圖中兩條件平行線之間運動（含邊界）
此時兩圖象有兩個或三個公共點，相應(yīng)地方程有至少兩個不相同的實數(shù)根
所以a取值的集合是：[-

1

4

，2]

點評：本題著重考查了函數(shù)解析式求解的常用方法和根的存在性及根的個數(shù)判斷等知識點，屬于中檔題．采用數(shù)形結(jié)合與分類討論，使本題化難為易，迎刃而解．