Question

（本題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（I）當時，求證平面
（II）當二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（I）見解析（II）

試題分析：（Ⅰ）在平行四邊形中，
由，，，
易知，                                                       ……2分
又平面，所以平面,∴，
在直角三角形中，易得，
在直角三角形中，，，又，∴，
可得
.
∴，                                                       ……5分
又∵，∴平面．                              ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，
可知為二面角的平面角，
，此時為的中點.                                     ……8分
過作,連結,則平面平面,
作,則平面,連結,
可得為直線與平面所成的角．
因為,,
所以.                                        ……10分
在中，，
直線與平面所成角的正弦值為.                         ……12分
解法二：依題意易知，平面ACD．以A為坐標原點，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標系，則易得，

（Ⅰ）由有，                                ……3分
易得，從而平面．                            ……6分
(Ⅱ)由平面，二面角的平面角.
又，則 為的中點，
即 ,                                                 ……8分
設平面的法向量為
則，令,得，                 ……10分
從而，
直線與平面所成角的正弦值為.                        ……12分
點評：解決空間立體幾何問題可以用傳統的方法證明也可以用向量方法來證明，用傳統方法證明時，要把證明所用的定理的條件擺清楚，缺一不可，用向量方法時，運算量比較大.