Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)分別做曲線 與的切線，，若兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)有極大值，無極小值.（2）

【解析】試題分析：

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，

①若時(shí)，在無極大值和極小值

②若，函數(shù)有極大值，無極小值.

(2) 設(shè)出切線方程，構(gòu)造函數(shù)，分段討論函數(shù)的性質(zhì)可得.

試題解析：

解：（1）

①若時(shí)，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故無極大值和極小值

②若，由得，

所以.函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減

故函數(shù)有極大值，無極小值.

（2）設(shè)切線的方程為，切點(diǎn)為，則，

，所以，，則．

由題意知，切線的斜率為，的方程為．

設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，則 ，

所以，．

又因?yàn)?/span>，消去和后，整理得

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又為的一個(gè)零點(diǎn)，所以

①若，因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>

所以 ，所以．

②若，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，則，

所以（舍去）．

綜上可知，