Question

（2013•唐山二模）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|ax-4|-|ax+8|，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2（|x-2|-|x+4|），再對(duì)x的值進(jìn)行分類討論轉(zhuǎn)化成一次不等式，由此求得不等式的解集．
（II）f（x）≤k恒成立，等價(jià)于k≥f（x） _max，由此求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，
f（x）=2（|x-2|-|x+4|）=

12，x＜-4 -4x-4，-4≤x≤2 -12，x＞2

當(dāng)x＜-4時(shí)，不等式不成立；
當(dāng)-4≤x≤2時(shí)，由-4x-4＜2，得-

3

2

＜x≤2；
當(dāng)x＞2時(shí)，不等式必成立．
綜上，不等式f（x）＜2的解集為{x|x＞-

3

2

}．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=|ax-4|-|ax+8|≤|（ax-4）-（ax+8）|=12，
當(dāng)且僅當(dāng)ax≤-8時(shí)取等號(hào)．
所以f（x）的最大值為12．
故k的取值范圍是[12，+∞）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．