Question

（2012•貴溪市模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）把n=1，n=2，n=3分別代入已知遞推公式即可求解a₁，a₂，a₃；
（2）解法一：由題設(shè)S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，代入整理可求S₁，S₂，S₃，然后猜想S_n，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可
解法二：由題設(shè)S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1代入整理，得S_nS_n-1-2S_n+1=0，然后構(gòu)造等差數(shù)列

1

Sn-1

，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

1

Sn-1

，進(jìn)而可求

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由已知得a12-2a1-a12+1=0
∴a₁=

1

2

同理，可解得 a₂=

1

6

，a₃=

1

12

       （5分）
（2）解法一：由題設(shè)S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0，（*） （6分）
由（1）可得S1=a1=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

由（*）式可得S3=

3

4

由此猜想：Sn=

n

n+1

   （8分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，
即Sk=

k

k+1

那么，由（*）得Sk+1=

1

2-Sk

∴Sk+1=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，根據(jù)①和②可知，
Sn=

n

n+1

對(duì)所有正整數(shù)n都成立．（12分）
解法二：由題設(shè)S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴Sn=

1

2-Sn-1

∴Sn-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

=

2-Sn

Sn-1-1

=-1+

1

Sn-1-1

∴數(shù)列{

1

Sn-1

}是以

1

S1-1

=-2為首項(xiàng)，以-1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

Sn-1

=-2+(-1)(n-1)=-n-1
∴Sn=1-

1

1+n

=

n

n+1

 （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)及和，解法二中的構(gòu)造等差數(shù)列進(jìn)行求解通項(xiàng)公式的方法要注意體會(huì)掌握