Question

（2012•寶雞模擬）平面內點P與兩定點A₁（-a，0），A₂（a，0）（其中a＞0）連線的斜率之積為非零常數m，已知點P的軌跡是橢圓C，離心率是

2

2

．
（1）求m的值；
（2）設橢圓的焦點在x軸上，若過點（2，3）且斜率為-1的直線被橢圓C所截線段的長度為

20 3

3

，求此橢圓的焦點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題意可分別表示出動點P與兩定點的連線的斜率，根據其之積為常數，求得x和y的關系式，對k的范圍進行分類討論，看k的范圍根據圓錐曲線的標準方程可推斷出離心率，從而求得m的值．
（2）設出所求直線方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得a值，從而解決問題．

解答：解：（1）依題意可知

y

x+a

•

y

x-a

=m，整理得y²-mx²=-ma²，
當m＜0時，方程的軌跡為橢圓：

x 2

a 2

+

y 2

-ma 2

=1，
當橢圓的焦點在x軸上時，∴c=

a 2+ma 2

=

(m+1)a 2

∴e=

c

a

=

m+1 |a|

|a|

=

m+1

=

2

2

，∴m=-

1

2

；
當橢圓的焦點在y軸上時，c=

-a 2-ma 2

=

(-m-1)a 2

，
∴e=

c

a

=

-m-1 |a|

| -m a|

=

-m-1

-m

=

2

2

，
∴m=-2．
（2）過點（2，3）且斜率為-1的直線方程為y-3=-（x-2），
聯立得：

x2+2y2=a2 x+y-5=0

，從而有：3x²-20x+50-a²=0，
∵△=20²-4×3×（50-a²）=4（3a²-50）≥0，
設兩交點的坐標分別為：（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

20

3

，
x₁x₂=

50-a2

3

，
所截線段的長度為d=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

2( 20 3 )2-8× 50-a2 3

=

20 3

3

，
解得a=

10 6

3

，
此時焦點坐標為（±

10 3

3

，0）．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，考查了學生對圓錐曲線標準方程的求解和應用．屬于中檔題．