Question

（2012•寶雞模擬）設函數f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)=1，a=1，c=

3

，求b值．

Answer 1

分析：（1）把已知函數整理為y=Asin（ωx+Φ）的形式，運用公式求周期；
（2）把若f（A）=1代入整理后的函數式，求出角A的值，然后運用余弦定理或正弦定理均可求解，用正弦定理求解時注意解的情況．

解答：解：（1）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1，∴f（x）的最小正周期T=2π．
（2）由f（A）=1得sin(A-

π

6

)=0，
∵-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，∴A-

π

6

=0，故A=

π

6

．
解法1：由余弦定理a²=b²+c²-2bcosA，
得b²-2b+2=0，解得b=1或2．
解法2：由正弦定理

a

sinA

=

B

sinB

，得

1

1 2

=

3

sinC

，所以sinC=

3

2

，則C=

π

3

或

2π

3

．
當C=

π

3

，B=

π

2

，從而b=

b2+c2

=2．
當C=

2π

3

時，B=

π

6

，又A=

π

6

，從而a=b=1．
故b的值為1或2．

點評：本題考查了三角函數的周期的求法，同時考查了解三角問題，求解與三角函數有關的周期問題，往往要把解析式化為y=Asin（ωx+Φ）的形式；求解三角形，關鍵是給出兩邊及一邊的對角的解的取舍．