Question

【題目】已知函數在區間內沒有極值點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）若函數在區間的最大值為且最小值為，求的取值范圍.

參考數據：.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）對函數求導，因為，所以，令，對其求導利用分類討論參數的取值范圍進而研究的單調性，其中當，單調性唯一，滿足條件，當，導函數存在零點，原函數由極值點不滿足條件，綜上得答案；

（2）由（1）可知的單調性，利用分類討論當，在上單調遞增，即可表示M，m，從而表示，視為關于的函數，可求得值域，同理當時，可求得的值域，比較兩類結果的范圍，求得并集，即為答案.

（1）因為函數，求導得，

令，

則，則在上單調遞增，

①.若，則，則在上單調遞增，

②.若，則，則，則在上單調遞減；

③.若，則，又因為在上單調遞增，結合零點存在性定理知：存在唯一實數，使得，

此時函數在區間內有極小值點，矛盾.

綜上，

（2）由（1）可知，，，

①.若，則在上單調遞增，則，，

則是關于的減函數，故；

②.若， 則在上單調遞減，則，而；

則是關于的增函數，故；

因為，故，

綜上，