Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，左右兩頂點，點為橢圓上任意一點，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線與軸的交點為，過點的直線與橢圓相交與兩點，連接點并延長，交軌跡于一點.求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）因為的最大值為4，根據橢圓的定義，利用基本不等式求得，再根據直線的斜率之積為，有，求得，寫出橢圓方程.

（2）由條件知，設直線的方程，與橢圓方程聯立，消得，設，則.

由根與系數的關系得，.，設直線的方程為，

所以，得，因為要證.根據橢圓的對稱性，只要證得點與 關于x軸對稱， 即.

（1）根據題意，

又設，所以，所以，

故，從而橢圓的標準方程為.

（2）根據題意，，所以設直線的方程，

聯立，消得，

，即.

設，則.

由根與系數的關系得，.

設直線的方程為，

所以，得，

所以

所以

.

所以

故，

所以.