Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱是AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于M，N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下四種說法：

（1）平面MENF⊥平面BDD′B′；

（2）當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最小；

（3）四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]是單調函數；

（4）四棱錐C′﹣MENF的體積V=h（x）為常函數，以上說法中正確的為（　）

A. （2）（3） B. （1）（3）（4） C. （1）（2）（4） D. （1）（2）

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′；（2）四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可；（3）判斷周長的變化情況；（4）求出四棱錐的體積，進行判斷．

（1）連結BD，B′D′，則由正方體的性質可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以正確；

（2）連結MN，因為EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x時，此時MN長度最小，對應四邊形MENF的面積最小．所以正確；

（3）因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0，]時，EM的長度由大變小．當x∈[，1]時，EM的長度由小變大．所以函數L＝f（x）不單調．所以錯誤；

（4）連結C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C′EF的面積是個常數．M，N到平面C'EF的距離是個常數，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V＝h（x）為常函數，所以正確．

故選：C．