Question

若a＞b＞c，則使不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

＞0恒成立的實數k的取值范圍是（　　）

A．（-∞，1]

B．（-∞，1）

C．（-∞，4]

D．（-∞，4）

Answer 1

∵a＞b＞c，則使不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

＞0恒成立，
∴

k

a-c

＜

1

a-b

+

1

b-c

即k＜(a-c)(

1

a-b

+

1

b-c

)=[(a-b)+(b-c)]×(

1

a-b

+

1

b-c

)，
∵a＞b＞c，
∴a-b＞0，b-c＞0，
∴[(a-b)+(b-c)]×(

1

a-b

+

1

b-c

)=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2+2

b-c a-b × a-b b-c

=4，
當且僅當

b-c

a-b

=

a-b

b-c

，即a+c=2b時取等號，
∴k＜4，即實數k的取值范圍是（-∞，4）．
故選：D．