Question

【題目】如圖，已知OPQ是半徑為 圓心角為 的扇形，C是該扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形，記∠BOC為α．
（Ⅰ）若Rt△CBO的周長為 ，求 的值．
（Ⅱ）求 的最大值，并求此時α的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）BC=OCsinα= sinα，OB=OCcosα= cosα，

則若Rt△CBO的周長為 ，

則 + sinα+ cosα= ，

sinα+cosα= ，

平方得2sinαcosα= ，

即 = = ，

解得tanα=3（舍）或tanα= ．

則 = = = = ．

（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC=OCsinα= sinα，OB=OCcosα= cosα，

在Rt△ODA中，

OA=DAtan = BC= sinα，

∴AB=OB﹣OA= （cosα﹣ cosα），

則 =| | |= （cosα﹣ cosα） sinα

=

∵ ，

∴ ，

∴當 ，

即 時， 有最大值 ．

【解析】（Ⅰ）由條件利用直角三角形中的邊角關系求出三角形的周長，利用三角函數的倍角公式進行化簡進行求解．（Ⅱ）結合向量的數量積公式，結合三角函數的帶動下進行求解．
【考點精析】本題主要考查了扇形面積公式的相關知識點，需要掌握若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，才能正確解答此題．