Question

【題目】如圖，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 焦距為2，過點F2作直線l交橢圓于M、N兩點，△F1MN的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l分別交直線y= x，y=﹣ x于P，Q兩點，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為2，

過點F2作直線l交橢圓于M、N兩點，△F1MN的周長為8．

∴ ，解得a=2，b= ，c=1，

∴橢圓方程為 ．

（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+1，

聯立 ，消去x，整理，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），則 ， ，

設P（x3，y3），N（x4，y4），

聯立 ，得 ，同理 ，

|PQ|= = ，

∴ = = ，

當0≤m2≤4時， = ∈[0， ]，

當m2＞4時， = ∈（0， ），

∴ 的取值范圍是[0， ]．

【解析】（Ⅰ）由橢圓的焦距為2，過點F2作直線l交橢圓于M、N兩點，△F1MN的周長為8，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+1，聯立 ，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用韋達定理、弦長公式、三角形面積公式，結合已知條件能求出 的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．