Question

【題目】已知點H（0，﹣8），點P在x軸上，動點F滿足PF⊥PH，且PF與y軸交于點Q，Q為線段PF的中點．
（1）求動點F的軌跡E的方程；
（2）點D是直線l：x﹣y﹣2=0上任意一點，過點D作E的兩條切線，切點分別為A、B，取線段AB的中點，連接DM交曲線E于點N，求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設F（x，y），∵Q是PF的中點，Q在y軸上，P在x軸上，

∴P（﹣x，0），又H（0，﹣8），∴kPF= ，kPH= ，

∵PF⊥PH，∴ ，即x2=4y．

∴動點F的軌跡E的方程x2=4y

（2）解：證明：設直線AB的方程為y=kx+b，

聯立方程組 ，消去y得：x2﹣4kx﹣4b=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ，且△=16k2+16b．

以點A為切點的切線的斜率為kP= x1，其切線方程為y﹣y1= x1（x﹣x1），

即y= x1x﹣ x12，

同理過點Q的切線的方程為y= x2x﹣ x22，

聯立方程組 得 ，

即D（2k，﹣b），∵D在直線x﹣y﹣2=0上，

∴2k﹣（﹣b）﹣2=0，即b=2﹣2k，

所以直線AB的方程y=kx+2﹣2k，即y=k（x﹣2）+2，顯然該直線恒過定點（2，2）．

【解析】（1）設F（x，y），用x，y表示出P點坐標，求出PF、PH的斜率，根據PF⊥PH列方程化簡即可；（2）設AB方程為y=kx+b，聯立方程組得出A，B坐標的關系，利用導數的幾何意義得出切線方程，從而求得D點坐標，得出k，b的關系，即可得出結論．