Question

【題目】已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）
（Ⅰ）求數列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1（x1 ， 1），P2（x2 ， 2）…Pn+1（xn+1 ， n+1）得到折線P1 P2…Pn+1 ， 求由該折線與直線y=0，x=x1 ， x=xn+1所圍成的區域的面積Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）設數列{xn}的公比為q，則q＞0，
由題意得 ，
兩式相比得： ，解得q=2或q=﹣ （舍），
∴x1=1，
∴xn=2n﹣1 ．
（II）過P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn向x軸作垂線，垂足為Q1 ， Q2 ， Q3 ， …，Qn ，
即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn ，
則bn= =（2n+1）×2n﹣2 ，
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2 ， ①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1 ， ②
①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1
= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1 ．
∴Tn= ．
【解析】（I）列方程組求出首項和公比即可得出通項公式；
（II）從各點向x軸作垂線，求出梯形的面積的通項公式，利用錯位相減法求和即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對等比數列的前n項和公式的理解，了解前項和公式：．