Question

【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足：正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個平面互相垂直，FB∥AE且FB＝2EA.

（1）證明：平面EFD⊥平面ABFE；

（2）若AB＝2，求多面體ABCDEF的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由已知求解三角形可得，由面面垂直的性質可得平面，證明平面平面，則平面，得到．再由線面垂直的判定可得平面，從而得到平面平面；

（2）連接，則多面體分為四棱錐和三棱錐．分別求出四棱錐與的體積，則多面體的體積可求．

（1）證明：由題意可得，四邊形ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形，

∴BC∥AD，BC＝AD，FB＝BC，∠FBC＝60°，

又∵FB∥AE且FB＝2EA，

∴∠EAD＝60°，

在△EAD中，設EA＝a，則AD＝2a，又∠EAD＝60°，

由余弦定理得：.

∵DE2+AE2＝AD2，

∴ED⊥AE，

∵平面ABCD⊥平面FBC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面FBC＝BC，且AB平面ABCD，

∴AB⊥平面BCF，

∵BC∥AD，EA∥FB，FB∩BC＝B，且FB，BC平面FBC，

EA，AD平面EAD，

∴平面EAD∥平面FBC，則AB⊥平面EAD.

又∵ED平面EAD，

∴AB⊥ED.

綜上，ED⊥AE，ED⊥AB，EA∩AB＝A，且EA，AB平面ABEF，

∴DE⊥平面ABEF，

又∵DE平面DEF，

∴平面EFD⊥平面ABFE；

（2）連接BD，

則多面體ABCDEF分為四棱錐D﹣ABFE和三棱錐D﹣BCF.

由（1）可得，ED⊥平面ABFE，

∴.

由（1）可得AB⊥平面BCF，又CD∥AB，

∴CD⊥平面BCF，

∴.

綜上，.