【題目】如圖，在三棱錐
中，
為
的中點.
（1）證明:
；
（2）若點
在線段
上，且直線
與平面
所成角的正弦值為
，求直線與
所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析過程；（2）
.
【解析】
（1）利用勾股定理逆定理可以證明底面直角三角形的性質，結合側棱相等，可以確定
是底面
的垂線，進而利用線面垂直的性質進行證明即可；
（2）由（1）中的線面垂直關系，可以證明出平面
和平面互相垂直，根據面面垂直的性質定理，結合線面角的定義，可以求出
的長，最后利用異面直線的定義進行求解即可.
（1）因為
，所以有
，所以三角形是直角三角形，而
為斜邊
的中點.所以三角形的外心為點，因為
，所以點
在底面的射影是底面的外心，因此
平面，而
平面，因此有
；
（2）由（1）可知：平面，而
平面，所以平面
平面，過
作
，垂足為
，因為平面
平面
，所以
平面，因為直線
與平面所成角的正弦值為
，所以
，設
，
所以
，因此由
，因此有
，根據
，可得
或
（舍去），故
，因此點是線段
的中點，取
的中點
，連接
，則有
，所以
是直線與
所成角（或補角），
因為
，
，所以
，由余弦定理可知：
.
狀元坊全程突破導練測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，
（1）求函數f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值和最小值；
（2）若對于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求實數m的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，
，
，
平面PAB，D，E分別是AC，BC上的點，且
平面PAB.
（1）求證
平面PDE；
（2）若D為線段AC中點，求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（其中α為參數），曲線C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；
（2）若射線θ=
（ρ＞0）與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，求|AB|．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為常數）的圖像與
軸交于點
，曲線
在點處的切線斜率為
.
（1）求的值及函數
的極值；
（2）證明：當
時，
；
（3）證明：對任意給定的正數
，總存在
，使得當
時，恒有
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足：正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個平面互相垂直，FB∥AE且FB＝2EA.
（1）證明：平面EFD⊥平面ABFE；
（2）若AB＝2，求多面體ABCDEF的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求證：
（1）BC//平面ADD1A1；
（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC的面積的最大值．
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