Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,,現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；
（2）求BF與平面ABC所成角的正弦值；
（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

Answer 1

（1）對于線面垂直的證明主要是根據線線垂直來得到線面垂直。
（2）（3）

解析（1）  試題分析：證明：在圖甲中∵且 
（2）  ∴ ,
即   2分
在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥C                  D．   4分
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC．    5分
（2）解法1：∵E、F分別為AC、AD的中點
∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，垂足為點E
∴∠FBE是BF與平面ABC所成的角   7分
在圖甲中，∵, ∴,
設則,,-9分
∴在Rt△FEB中，
即BF與平面ABC所成角的正弦值為．  10分
解法2：如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示，
設，則，  6分
可得,,
，，

∴,   8分
設BF與平面ABC所成的角為
由（1）知DC平面ABC
∴
∴   10分
（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，
又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB為二面角B－EF－A的平面角   12分
在△AEB中，
∴
即所求二面角B－EF－A的余弦為．  14分
考點：垂直的證明，角的求解
點評：主要是考查了空間中垂直的證明，以及線面角和二面角的平面角的大小的求解，屬于基礎題。