Question

如圖所示，過點M（m，1）作直線AB交拋物線x²=y于A，B兩點，且|AM|=|MB|，過M作x軸的垂線交拋物線于點C．連接AC，BC，記三角形ABC的面積為S_△，記直線AB與拋物線所圍成的陰影區域的面積為S_弓．
（1）求m的取值范圍；
（2）當S_△最大時，求m的值；
（3）是否存在常數λ，使得

S△

S弓

=λ？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設AB直線方程，代入拋物線方程x²=y，利用M是AB的中點，結合根的判別式，即可求m的取值范圍；
（2）利用韋達定理，表示出S_△=S_ACM+S_BCM，結合m的范圍，即可求得結論；
（3）利用定積分，求出S_弓，結合（2）的結論，即可求得λ的值．

解答：解：（1）由題意，直線AB的斜率存在，設AB直線方程為y=k（x-m）+1
代入拋物線方程x²=y得，x²-kx+mk-1=0（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
因為M是AB的中點，所以m=

x1+x2

2

=

k

2

，即k=2m
方程（*）即為：x²-2mx+2m²-1=0（**）
由△=4m²-8m²+4＞0得-1＜m＜1
所以m的取值范圍是（-1，1）；…4'
（2）因為M（m，1），C（m，m²），MC⊥x軸，所以|MC|=1-m²，
由方程（**）得x1+x2=2m，x1x2=2m2-1
所以S_△=S_ACM+S_BCM=

1

2

|x1-x2| ． |MC|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

 ． |MC|
=

1

2

4-4m2

 ． (1-m2)=(1-m2)

3

2

≤1
所以當S_△最大時，m=0；…8'
（3）常數λ存在且λ=

3

4

不妨設x₁＜x₂
S弓=

∫

x2 x1

[k(x-m)+1-x2]dx=

∫

x2 x1

[2mx+1-2m2-x2]dx=[mx2+(1-2m2)x-

1

3

x3]

|

x2 x1

=m(

x

2 2

-

x

2 1

)+(1-2m2)(x2-x1)-

1

3

(

x

3 2

-

x

3 1

)=(x2-x1)[m(

x

2

+

x

1

)+(1-2m2)-

1

3

(

x

2 2

+x2x1+

x

2 1

)]=(x2-x1)[m(

x

2

+

x

1

)+(1-2m2)-

1

3

((

x

2

+x1)2-x2x1)]
由方程（**）得x1+x2=2m，x1x2=2m2-1，
代入上式化簡得S弓=

4-4m2

 ． 

2

3

(1-m2)=

4

3

(1-m2)

3

2

由（2）知S_△=(1-m2)

3

2

，所以

S△

S弓

=

(1-m2) 3 2

4 3 (1-m2) 3 2

=

3

4

所以常數λ存在且λ=

3

4

…13'

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查定積分知識，考查學生的綜合能力，屬于中檔題．