Question

如圖所示,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點M,N(點M在點N的右側),且|MN|=3,已知橢圓D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過點（,）.

(1)求圓C和橢圓D的方程;

(2)若過點M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點,求證:直線NA與直線NB的傾斜角互補.

 

Answer 1

【答案】

（1）（x-）2+(y-2)2= +=1 （2）見解析

【解析】

(1)解:設圓的半徑為r,由題意,圓心為(r,2),

因為|MN|=3,

所以r2=（）2+22=,r=,

故圓C的方程是（x-）2+(y-2)2= ①

在①中,令y=0解得x=1或x=4,

所以N(1,0),M(4,0).

由得c=1,a=2,

故b2=3.

所以橢圓D的方程為+=1.

(2)證明:設直線l的方程為y=k(x-4).

由

得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 ②

設A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=,x1x2=.

當x1≠1,x2≠1時,

kAN+kBN=+

=+

=k·

=·[2x1x2-5(x1+x2)+8]

=·

=0.

所以kAN=-kBN,

當x1=1或x2=1時,k=±,

此時,對方程②,Δ=0,不合題意.

所以直線AN與直線BN的傾斜角互補.