Question

【題目】已知f（x）=2ax﹣ +lnx在x=1與x= 處都取得極值． （Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=x2﹣2mx+m，若對任意的x1∈[ ，2]，總存在x2∈[ ，2]，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2 ， 求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ∵ 在x=1與 處都取得極值，
∴f'（1）=0， ，∴ ，解得 ，
當 時， ，
所以函數f（x）在x=1與 處都取得極值．
∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數 在 上遞減，
∴[f（x）﹣g（x）]min=﹣ + =﹣ ，
又函數g（x）=x2﹣2mx+m圖象的對稱軸是x=m，
①當 時： ，依題意有 成立，∴ ；
②當 時： ，
∴ ，即6m2﹣6m﹣7≤0，解得： ，
又∵ ，∴ ；
③當m＞2時，g（x）min=g（2）=4﹣3m，∴ ，解得 ，
又 m＞2，∴m∈；
綜上： ，
所以，實數m的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）求導數f′（x），由f（x）在x=1與 處都取得極值，得f'（1）=0， ，得關于a，b的方程組，解出a，b，然后檢驗；（Ⅱ）對任意的 ，總存在 ，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2 ， 等價于g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min ， 利用函數單調性易求[f（x）﹣lnx]min ， 按照對稱軸在區間[ ，2]的左側、內部、右側三種情況進行討論可求得g（x）min ， 然后解不等式g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min可得答案；
【考點精析】本題主要考查了函數的極值和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握極值反映的是函數在某一點附近的大小情況；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．