Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx﹣ ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為 ．
（1）求函數(shù)f（x）對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)锳＞0，所以f（x）max=A+1=3，

所以A=2，

又因?yàn)閒（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為 ，

所以 = ，

所以T=π，

故ω= =2，

所以f（x）=2sin（2x﹣ ）+1．

令2x﹣ =kπ（k∈Z），

所以x= + （k∈Z），

故對(duì)稱中心為（ + ，1）（k∈Z）；

（2）解：∵x∈[0， ]，

∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x﹣ ）∈[ ，1]，

∴f（x）=2sin（2x﹣ ）+1∈[0，3]

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]上的值域?yàn)椋篬0，3]．

【解析】首先根據(jù)函數(shù)的最值和對(duì)稱軸之間的距離確定A和ω，進(jìn)一步求出正弦型函數(shù)的解析式．（1）根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)求得函數(shù)f（x）對(duì)稱中心的坐標(biāo)；（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)求值域．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)的對(duì)稱性，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；正弦函數(shù)的對(duì)稱性：對(duì)稱中心；對(duì)稱軸即可以解答此題．