Question

已知函數在處取得極值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）證明：當時，.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）求，利用函數在處取得極值，即求得的值；（Ⅱ）根據題意求得，確定函數，當用分析法證明不等式成立，需要證明成立，構造新函數，再用導數法證明，從而得到原不等式成立.
試題解析：（Ⅰ），由已知得，，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則
又因為，因此欲證，只需證.
令，則，令，解得.
當時，，此時單調遞增.
因此，即.從而.
所以，當時，成立．