Question

函數，過曲線上的點的切線方程為.
（1）若在時有極值，求的表達式；
（2）在（1）的條件下，求在[-3,1]上的最大值；
（3）若函數在區間[-2,1]上單調遞增，求實數b的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）13；（3）.

試題分析：（1）題目條件給出了關于的兩組關系，第一問中又給出了一組關系，所以在第一問很容易就能將表達式求出；（2）我們求解無參函數在定區間上的最大值，只需求導看在上的單調性，然后找到極小值就是最小值，最大值通過比較端點值即可判斷出；（3）考查函數單調性的問題，我們可以將其轉化為不等式恒成立問題，轉化之后的不等式是比較常見的二次不等式恒成立，一般碰到這種問題我們采取分離參數的方法將參數分到一邊，求出另一邊的最值即可，另一邊的函數是常見的對勾函數，在這里區間給的比較好，可以讓我們用基本不等式解出最大值，然后參數大于最大值即可.
試題解析：（1）由得，過上點的切線方
程為，即.而過上點的切
線方程為，故即 ,∵在處有極值，，
∴，聯立解得.∴.
，令得或，列下表：

		遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

 因此，的極大值為，極小值為又∵，∴在上的最大值為13.
（3）在上單調遞增，又，由（1）知，∴，依題意在上恒有，即即在上恒成立.當時恒成立；當時，，此時，而（∵）當且僅當時取等號，∴，要使恒成立，只要.