Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）函數的圖象與的圖象無公共點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在實數，使得對任意的，都有函數的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出整數的最大值；若不存在，請說理由.

（參考數據：，,）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數圖象無公共點，可以轉化為方程無實根，此方程可用分離參數法化為無實根，從而只要求出函數的值域即可，這可導數的知識求得；（Ⅱ）同樣問題轉化為“不等式對恒成立”，即對恒成立，因此問題轉化為

求函數的最小值．

試題解析：（Ⅰ）函數與無公共點，

等價于方程在無解

令，則令得

	＋	0	－
	增	極大值	減

因為是唯一的極大值點，故

故要使方程在無解，

當且僅當，故實數的取值范圍為

（Ⅱ）假設存在實數滿足題意，則不等式對恒成立.

即對恒成立.

令，則，

令，則，

∵在上單調遞增，，，

且的圖象在上連續，

∴存在，使得，即，則，

∴ 當時，單調遞減；

當時，單調遞增，

則取到最小值，

∴ ，即在區間內單調遞增.

，

∴存在實數滿足題意，且最大整數的值為.