Question

已知，.
（1）求的解析式；
（2）解關于的方程
（3）設，時，對任意總有成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）
（2）當時，方程無解
當時，解得
若，則
若，則
（3）

解析試題分析：
(1)利用換元法求解函數的解析式,設,則,代入即得解析式
(2)依題意將方程中化簡得,然后分和分別求解,
(3)對任意總有成立，等價于當時，,然后分的取值來討論.
試題解析：解：（1）令即，則
即
(2)由化簡得：即
當時，方程無解
當時，解得
若，則
若，則
（3）對任意總有成立，等價于
當時，

令則
令
①當時，單調遞增，
此時，
即（舍）
②當時,單調遞增
此時，
即
③當時，
在上單調遞減，在上單調遞增
且

即
，綜上:
考點：本題考查指數函數的性質及閉區間上的最值問題，考查了恒成立問題轉化為求函數最值及分類討論.