Question

【題目】已知函數是定義在區間上的奇函數，且，若時，有成立．

（1）證明：函數在區間上是增函數；

（2）解不等式；

（3）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）任取,證明成立即可；

（2）根據的奇偶性和單調性將不等式可轉化為 ；

（3）根據單調性將命題轉化為恒成立，再設，

進而轉化為對恒成立．

試題解析：（1）任取，

則

，

，

，

又，

，

即函數在區間上是增函數．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）函數是定義在區間上的奇函數，且在區間上是增函數，

則不等式可轉化為，

根據題意，則有，解得．

即不等式的解集為．

（3）由（1）知，在區間上是增函數，

在區間上的最大值為，

要使對，恒成立，

只要，即恒成立．

設，

對恒成立，

則有即，

．

即實數的取值范圍為