Question

【題目】如圖，點是拋物線上位于第一象限內一動點，是焦點，圓：，過點作圓的切線交準線于，兩點.

（Ⅰ）記直線，的斜率分別為，，若，求點的坐標；

（Ⅱ）若點的橫坐標，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10.

【解析】

（Ⅰ）設，，，求得拋物線的焦點和準線方程，圓的圓心和半徑，運用直線的斜率公式，化簡計算可得所求值；

（Ⅱ）設直線的斜率為，直線的斜率為，可得直線、的方程，運用點到直線的距離公式和直線和圓相切的條件：，結合韋達定理，可得、的橫坐標，進而得到，求得面積為關于的關系式，化簡整理，可得所求最小值．

解：（Ⅰ）設，，

，

解得或（舍）.此時

（Ⅱ）設直線的斜率為，直線的斜率為.

則直線的方程為：，

由直線與圓相切，，

同理.

則，為方程的兩根.

，

由，同理

，

，則

當且僅當即時，的面積取到最小值10.