Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數在上的極值；

（3）設函數，若，且對任意的實數，不等式恒成立（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值；（3）.

【解析】

（1）代入，求導，求出斜率和切點，利用點斜式可寫出直線方程；

（2）求導，分類討論求出函數在上單調性，列表，找到極值點，進而可得極值；

（3）對任意的，恒成立，先通過估算實數a的取值范圍，再分和討論，求導，求出的最大值，列不等式求解即可.

（1）當時，，

，

所以，，

所以曲線在點處的切線方程為

即；

（2），.

①當時，，在上單調增，所以無極值；

②當時，令，得，列表如下：

x
		0
		極小值

所以的極小值為.

綜上所述，當時，無極值；

當時，的極小值為，無極大值；

（3）因為.

由題意，對任意的，恒成立，所以，

解得，又，所以.

①當時，因為，所以，當且僅當時，取等號.

由（2）知，在上單調增，所以.

所以，當且僅當時，取等號，

所以在上單調增，則，

解得，此時，.

②當時，由（2）知，在上單調遞增，且，

又，所以存在，且，使得，

即，得.

所以的解為和a，列表如下：

x				a
		0		0
		極大值		極小值

所以，，即，

又，所以恒成立，此時，.

綜上所述，實數a的取值范圍為.