Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點，點是曲線上的動點，為線段的中點.

（1）寫出曲線的參數方程，并求出點的軌跡的直角坐標方程；

（2）已知點，直線與曲線的交點為，若線段的中點為，求線段長度.

Answer 1

【答案】（1）（為參數）；；（2）.

【解析】

（1）根據圓的直角坐標方程寫出曲線的參數方程，求出點的坐標，利用消參法求出點的軌跡的直角坐標方程；

（2）將的參數方程為參數）代入曲線的直角坐標方程得，再利用直線參數方程的幾何意義求解.

（1）的參數方程為為參數）.

設，所以，即的參數方程為為參數），化簡為直角坐標方程為.

所以點的軌跡的直角坐標方程為.

（2）直線的直角坐標方程為，易知直線過點，

設的參數方程為參數），將其代入曲線的直角坐標方程得，

設對應的參數分別為，

所以，

所以.