Question

【題目】已知函數f（x）=x+ （x＞0）過點P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，設g（t）=|MN|，若對任意的正整數n，在區間[2，n+ ]內，若存在m+1個數a1 ， a2 ， …am+1 ， 使得不等式g（a1）+g（a2）+…g（am）＜g（am+1），則m的最大值為（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設M、N兩點的橫坐標分別為x1、x2，

∵f′（x）=1﹣ ，

∴切線PM的方程為：y﹣（x1+ ）=（1﹣ ）（x﹣x1），

又∵切線PM過點P（1，0），∴有0﹣（x1+ ）=（1﹣ ）（1﹣x1），

即x12+2tx1﹣t=0，（1）

同理，由切線PN也過點P（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）

由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的兩根，

∴x1+x2=﹣2t，x1x2=﹣t（*）|MN|=

= ，

把（*）式代入，得|MN|= ，

因此，函數g（t）的表達式為g（t）= ，t＞0，

知g（t）在區間[2，n+ ]為增函數，

∴g（2）≤g（ai）≤g（n+ ）（i=1，2，m+1），

則mg（2）≤g（a1）+g（a2）+…+g（am）≤mg（n+ ）．

依題意，不等式mg（2）＜g（n+ ）對一切的正整數n恒成立，

m ＜ ，

即m＜ 對一切的正整數n恒成立．

∵n+ ≥2 =16，∴ ≥ = ，

∴m＜ ．由于m為正整數，∴m≤6．

又當m=6時，存在a1=a2═am=2，am+1=16，對所有的n滿足條件．

因此，m的最大值為6．

故選：B．