Question

已知函數，（）
（Ⅰ）若函數存在極值點，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）當且時，令，()，()為曲線上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）實數的取值范圍為；(Ⅱ)當時，，函數的單調遞增區間為；當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．

解析試題分析：（Ⅰ）首先求函數的導數，有兩個不相等實數根，利用求實數的取值范圍；(Ⅱ)分，，討論求函數的單調區間．當時，，函數的單調遞增區間為；當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅲ）當且時，假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．則且．不妨設．故，則．，該方程有解．下面分，，討論，得方程總有解．最后下結論，對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．
試題解析：（Ⅰ），若存在極值點，則有兩個不相等實數根．所以，                                  2分
解得                                                    3分
(Ⅱ)                                          4分
當時，，函數的單調遞增區間為；           5分
當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．7分．
（Ⅲ） 當且時，假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．則且．      8分
不妨設．故，則．
，該方程有解          9分
當