【題目】如圖，由直三棱柱
和四棱錐
構成的幾何體中， 
，平面
平面
．
（Ⅰ）求證： 
；
（Ⅱ）在線段
上是否存在點
，使直線
與平面
所成的角為
？若存在，求
的值，若不存在，說明理由．
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從秦朝統一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時間長達兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內部刻有四個字“同治重寶”．某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀念品，其小圓內部圖紙設計如圖2所示，小圓直徑1厘米，內嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長小），每個正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內用于刻銅錢上的字．設
，五個正方形的面積和為S．
（1）求面積S關于
的函數表達式，并求定義域；
（2）求面積S的最小值及此時
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的短軸長為
，離心率為
。
（1）求橢圓
的標準方程;
（2）設橢圓的左，右焦點分別為
，
左，右頂點分別為
，
，點
，
，為橢圓上位于
軸上方的兩點，且
，記直線
，
的斜率分別為
，
，若
，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市《城市總體規劃（
年）》提出到2035年實現“15分鐘社區生活圈”全覆蓋的目標，從教育與文化、醫療與養老、交通與購物、休閑與健身4個方面構建“15分鐘社區生活圈“指標體系，并依據“15分鐘社區生活圈”指數高低將小區劃分為：優質小區(指數為
、良好小區(指數為0.4-0.63、中等小區(指數為0.2~0.4)以及待改進小區(指數為0-0.2)4個等級．下面是三個小區4個方面指標值的調查數據：
注：每個小區”15分鐘社區生活圈”指數
其中
、
、
、
為該小區四個方面的權重，
為該小區四個方面的指標值(小區每一個方面的指標值為
之間的一個數值)
現有100個小區的“15分鐘社區生活圈“指數數據，整理得到如下頻數分布表：
（1）分別判斷A、B、C三個小區是否是優質小區，并說明理由；
（2）對這100個小區按照優質小區、良好小區、中等小區和待改進小區進行分層抽樣，抽取10個小區進行調查，若在抽取的10個小區中再隨機地選取2個小區做深入調查，記這2個小區中為優質小區的個數為ζ，求ζ的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙、丁、戊五人去參加數學、物理、化學三科競賽，每個同學只能參加一科競賽，若每個同學可以自由選擇，則不同的選擇種數是____；若甲和乙不參加同一科，甲和丙必須參加同一科，且這三科都有人參加，則不同的選擇種數是_____.（用數字作答）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省確定從2021年開始，高考采用“
”的模式，取消文理分科，即“3”包括語文、數學、外語，為必考科目；“1”表示從物理、歷史中任選一門；“2”則是從生物、化學、地理、政治中選擇兩門，共計六門考試科目.某高中從高一年級2000名學生（其中女生900人）中，采用分層抽樣的方法抽取
名學生進行調查.
（1）已知抽取的名學生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人數；
（2）學校計劃在高二上學期開設選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調杳（假定每名學生在這兩個科目中必須洗擇一個科目且只能選擇一個科目）.下表是根據調查結果得到的
列聯表，請將列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計 |
男生 | 50 | ||
女生 | 30 | ||
總計 |
（3）在（2）的條件下，從抽取的選擇“物理”的學生中按分層抽樣抽取6人，再從這6名學生中抽取2人，對“物理”的選課意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.
附：
，其中
.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省高考改革方案指出：該省高考考生總成績將由語文數學英語3門統一高考成績和學生從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門等級性考試科目中自主選擇3個，按獲得該次考試有效成績的考生(缺考考生或未得分的考生除外)總人數的相應比例的基礎上劃分等級，位次由高到低分為A、B、C、D、E五等21級，該省的某市為了解本市
萬名學生的某次選考化學成績水平，統計在全市范圍內選考化學的原始成績，發現其成績服從正態分布
，現從某校隨機抽取了
名學生，將所得成績整理后，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估算該校名學生成績的平均值
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）現從該校名考生成績在
的學生中隨機抽取兩人，該兩人成績排名（從高到低）在全市前
名的人數記為
，求隨機變量的分布列和數學期望.參考數據：若
，則
，
，
.
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