Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（Ⅱ）恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)，對(duì)分類討論，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求出結(jié)論；

（Ⅱ）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足在上恒成立時(shí)，的取值范圍，設(shè)，通過求導(dǎo)求出，即可求解.

（Ⅰ）由已知得x＞0，.

①當(dāng)a≥0時(shí)，，此時(shí)f（x）是增函數(shù)，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，由，得，

此時(shí) 時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)；

當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)是減函數(shù)，

所以時(shí)，f（x）取得極大值，由f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以，解得.

又，所以f（x）在（0，）有唯一零點(diǎn).

再取，

則.

所以f（x）在有唯一實(shí)數(shù)根，

所以a的取值范圍是.

（Ⅱ）恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立.

令，則.

令，則0.

所以在上遞增，而，

故存在使得，即.

∴.

令，，

所以在上遞增，∴.

而時(shí)，，即，

所以在上遞減；

時(shí)，，即，

故在上遞增.

所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，

，∴a≤1.

所以a的取值范圍是.