Question

【題目】（1）已知：“直線與圓相交”； ：“有一正根和一負根”.若為真， 為真，求的取值范圍.

（2）已知橢圓： 與圓： ，雙曲線與橢圓有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓相切.求雙曲線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）先求出命題， 的等價條件，然后利用若為真，非為真，即可求出實數的取值范圍；（2）由橢圓方程求得雙曲線的焦點坐標，設雙曲線的方程為（， ），從而得到雙曲線的漸近線方程，利用圓心到兩條漸近線的距離為圓的半徑，即可求得， 的值，從而得到雙曲線的方程.

試題解析：（1）對：∵直線與圓相交，

∴，∴

對：方程有一正根一負根，

∴令

∴或解得

又∵為真

∴假

又∵為真

∴為真

∴由數軸可得，則的取值范圍是

（2）橢圓： 的兩個焦點為、

∴雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，且

設雙曲線的方程為（， ），則的漸近線方程為，

即，且

又∵圓心為，半徑為

∴

∴，

∴雙曲線的方程為