Question

已知四棱錐P－ABCD的正視圖是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，如圖分別是四棱錐P－ABCD的側視圖和俯視圖．

(1)求證：AD⊥PC；
(2)求四棱錐P－ABCD的側面PAB的面積．

Answer 1

（1）見解析（2）6

(1)證明：依題意，可知點P在平面ABCD上的射影是線段CD的中點E，如圖，連接PE，則PE⊥平面ABCD.

∵AD?平面ABCD，∴AD⊥PE.
∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD?平面PCD，PE?平面PCD，∴AD⊥平面PCD.
∵PC?平面PCD，∴AD⊥PC.
(2)依題意，在等腰三角形PCD中，PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，在Rt△PED中，PE＝ ＝.
過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，
∵PE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PE.
∵EF?平面PEF，PE?平面PEF，EF∩PE＝E，∴AB⊥平面PEF.
∵PF?平面PEF，∴AB⊥PF.
依題意得EF＝AD＝2.
在Rt△PEF中，PF＝ ＝3，
∴△PAB的面積S＝·AB·PF＝6.
∴四棱錐P－ABCD的側面PAB的面積為6