Question

定義在(0，＋∞)的三個函數f(x)、g(x)、h(x)，已知f(x)＝lnx，g(x)＝x²－af(x)，h(x)＝x－a，且g(x)在x＝1處取極值．

(Ⅰ)求a值及h(x)的單調區間；

(Ⅱ)求證：當1＜x＜e²時，恒有

(Ⅲ)把h(x)對應的曲線C₁向上平移6個單位后得曲線C₂，求C₂與g(x)對應曲線C₃的交點個數，并說明道理．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)由題意： 　　∴a＝2　　2分 　　而所以h(x)在上為增函數，h(x)在上為增函數．　　4分 　　(Ⅱ) 　　欲證：只需證：，即證： 　　記 　　∴ 　　∴當x＞1時，為增函數　　9分 　　 　　即 　　∴結論成立　　10分 　　(Ⅲ)由(1)知： 　　∴對應表達式為 　　∴問題轉化成求函數 　　即求方程： 　　即： 　　設 　　∴當時，為減函數． 　　當時，為增函數． 　　而的圖象開口向下的拋物線 　　∴與的大致圖象如圖： 　　∴與的交點個數為2個．即與的交點個數為2個　　16分