Question

【題目】已知 為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的 ，總存在唯一的 ，使得 成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】設(shè) ， ，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上為增函數(shù)， ，

設(shè) ，

對任意的 ，總存在唯一的 ，使得 成立，則

是 的不含極值點(diǎn)的單調(diào)區(qū)間的子集， ， 在 上遞減，在 上遞增，最小值 ， ，最大值為 ，①要使得對任意的 ，總存在唯一的 ，使得 成立，則 的最大值不大于 的最大值 ，解得 ；② 在 上遞減，在 上遞增， 的值域?yàn)? 時(shí)，有兩個 值與之對應(yīng)，若只有唯一的 ，則 的最小值要比 大，即： ，

綜上： 的取值范圍是 。
選答案為：D.

等式關(guān)于x恒成立，關(guān)于y能成立，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的值域是函數(shù)g(y)的不含極值點(diǎn)的單調(diào)區(qū)間的子集，是解題要點(diǎn)。