Question

如圖(1)在等腰中，D，E，F分別是AB，AC和BC邊的中點，，
現將沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如圖(2))
(I)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，
并說明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；
(III)在線段BC是否存在一點P，但APDE？證明你的結論.

Answer 1

法一（I）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，取CD的點M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，過M作MN⊥DF于點N，連結EN，則EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.……6分設CD＝a,則AC＝BC＝2a , AD＝DB＝, △DFC中,設底邊DF上的高為h由，∴h＝在Rt△EMN中，EM=，MN= h＝，
∴tan∠MNE=2從而cos∠MNE＝……8分
（Ⅲ）在線段BC上不存在點P，使AP⊥DE，…………  9分
證明如下：在圖2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q
由已知得∠AED＝120°，于是點G在DE的延長線上，
從而Q在DC的延長線上，過Q作PQ⊥CD交BC于P
∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延長線上。… 12分
法二（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，
設CD＝a，則AC＝BC＝2a , AD＝DB＝則A（0，0，），B（，0，0），
C（0，.…… 5分
取平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為，
則 得…6分
……7分
所以二面角E—DF—C的余弦值為……8分
（Ⅲ）設，
又，………  9分
……11分
把，可知點P在BC的延長線上
所以在線段BC上不存在點P使AP⊥DE.……12分

略