Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的值；

（2）設，當時，的值域為，試求與的值；

（3）當時，記，如果對于區間上的任意三個實數、、，都存在以、、為邊長的三角形，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）20；（2），；（3）.

【解析】

（1）根據對數的運算法則進行化簡求解即可．

（2）根據復合函數單調性的關系進行求解．

（3）問題轉化為2ymin＞ymax，然后利用對勾函數的單調性進行分類討論求解即可．

（1）若f（x1x2）＝10，

則lognx1x2＝10，

則f（x12）+f（x22）＝lognx12+lognx22＝lognx12x22＝logn（x1x2）2＝2lognx1x2＝20．

（2）g（x）＝f（）＝lognlogn（）＝logn（1），

則y＝1在（1，+∞）上為減函數，

∵當x∈（m，n）時，g（x）的值域為（1，+∞），

∴m＝1，n＞1，

則函數g（x）在（m，n）上為減函數，

則g（n）＝1，即logn（1）＝1，得1n，即n﹣1，

得（n﹣1）2＝2，解得n﹣1＝±，則n＝1或n＝1（舍）．

（3）當n＝3時，記h（x）＝f﹣1（x）3x，（m＞0），

∵﹣1≤x≤0，∴設t＝3x，則t≤1，

即y＝t，（t≤1），由題意得在t≤1上恒有2ymin＞ymax即可．

①當0＜m時，函數h（x）在[，1]上遞增，

ymax＝1+m，ymin＝3m．

由2ymin＞ymax得6m1+m，即5m，得m．此時．

②當時，h（x）在[，]上遞減，在[，1]上遞增，

ymax＝max{3m，1+m}＝1+m，ymax＝1+m，ymin＝2，

由2ymin＞ymax得41+m，得．此時．

③當m＜1時，h（x）在[，]上遞減，在[，1]上遞增，

ymax＝max{3m，1+m}＝3m，ymin＝2，

由2ymin＞ymax得43m，得．此時m＜1

④當m≥1時，h（x）在[，1]上遞減，

ymax＝3m，ymin＝m+1，

由2ymin＞ymax得2m+2＞3m，得m．此時1≤m，

綜上．