Question

【題目】設， .

（1）若，求的單調區間；

（2）討論在區間上的極值點個數；

（3）是否存在，使得在區間上與軸相切？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）減區間為 ，增區間為 （2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調區間（2）先求函數導數，轉化為研究零點個數，利用二次求導易得在區間上單調遞增，其零點個數決定于最小值的大小，討論其最小值與零的大小得到極值點個數， （3）由題意得在區間上與軸相切切點為極值點，由（2）得 ，再根據極值點定義可得方程組 ，解得

試題解析：解：（1）當時：，（）

故

當時：，當時：，當時：．

故的減區間為：，增區間為

（2）

令，故,,

顯然，又當時：．當時：．

故，，．

故在區間上單調遞增，

注意到：當時，，故在上的零點個數由的符號決定．

①當，即：或時：在區間上無零點，即無極值點．

②當，即：時：在區間上有唯一零點，即有唯一極值點．

綜上：當或時：在上無極值點．

當時：在上有唯一極值點．

（3）假設存在，使得在區間上與軸相切，則必與軸相切于極值點處，

由（2）可知：．不妨設極值點為，則有：

…（*）同時成立．

聯立得：，即代入（*）可得．

令，．

則，，當 時 （2）．

故在上單調遞減．又， ．

故在上存在唯一零點．

即當時，單調遞增．當時，單調遞減．

因為，．

故在上無零點，在上有唯一零點．

由觀察易得，故，即：．

綜上可得：存在唯一的使得在區間上與軸相切．