Question

【題目】已知函數f（x）=|x|（x﹣a），a為實數．
（1）若函數f（x）為奇函數，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在[0，2]為增函數，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數a（a＜0），使得f（x）在閉區間 上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為奇函數f（x）定義域為R，

所以f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0對任意x∈R恒成立，

所以a=0

（2）解：因為x∈[0，2]，所以f（x）=x（x﹣a），

顯然二次函數的對稱軸為 ，由于函數f（x）在[0，2]上單調遞增，

所以 ，

即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三種情況討論他可）

（3）解：∵a＜0， ，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值約束范圍）

∴ ，f（x）在（0，+∞）上遞增，

∴f（x）必在區間[﹣1，0]上取最大值2．

當 ，即a＜﹣2時，則f（﹣1）=2，a=﹣3，成立

當 ，即0＞a≥﹣2時， ，則 （舍）

綜上，a=﹣3

【解析】（1）利用函數是奇函數定義，列出關系式，即可求出a的值；（2）推出二次函數的性質，列出不等式求解即可．（3）化簡函數為分段函數，通過討論a的范圍，列出關系式求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．